在數(shù)字信號(hào)處理的過(guò)程中，模擬信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣與ADC從連續(xù)的模擬信號(hào)變?yōu)殡x散的數(shù)字信號(hào)。然后這些離散的數(shù)字信號(hào)通過(guò)運(yùn)算單元經(jīng)過(guò)卷積運(yùn)算將時(shí)域信號(hào)變?yōu)轭l域并與濾波器參數(shù)進(jìn)行卷積。最終的輸出頻域信號(hào)通過(guò)逆卷積再次回到時(shí)域信號(hào)并進(jìn)行重建運(yùn)算。其中的變換過(guò)程如下式

在上式中，eq.1為傅里葉變換，eq.2為傅里葉逆變換。從eq.1與eq.2中可以發(fā)現(xiàn)，傅里葉變換是基于無(wú)窮長(zhǎng)度的沖擊響應(yīng)h(n)，而在真實(shí)的數(shù)字系統(tǒng)中內(nèi)存的長(zhǎng)度是有限的。比如，在處理一段聲音信號(hào)時(shí)，需要對(duì)此聲音信號(hào)在時(shí)域的所有波進(jìn)行傅里葉變換。但是如果此信號(hào)是通過(guò)麥克風(fēng)進(jìn)行實(shí)時(shí)錄入，我們是不知道未來(lái)的信號(hào)是什么的。因此，這個(gè)難題可以通過(guò)在數(shù)字處理系統(tǒng)中通過(guò)“加窗”對(duì)一個(gè)時(shí)段的信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換來(lái)進(jìn)行處理。

通常的方法是對(duì)采樣點(diǎn)的截取，例如用n代表采樣點(diǎn)的編號(hào)，一個(gè)加窗函數(shù)截取長(zhǎng)度為n=M-1個(gè)點(diǎn)，則此函數(shù)可表示為

                      eq.3

當(dāng)使用此窗函數(shù)截取一段時(shí)域信號(hào)h_d(n)時(shí)，卷積運(yùn)算為

          eq.4

因信號(hào)處理系統(tǒng)是基于頻域信號(hào)H_d(ω)與W(ω)的卷積，對(duì)eq4的時(shí)域信號(hào)進(jìn)行離散傅里葉變換可發(fā)現(xiàn)

                      eq.5

通過(guò)觀察eq3可發(fā)現(xiàn)，此窗函數(shù)為一方波，通過(guò)eq.5可寫出此窗函數(shù)在頻域的表達(dá)式

          eq.6

Eq.6又稱“矩形窗”。

利用同樣的設(shè)計(jì)原理，可設(shè)計(jì)多種近似矩形的窗函數(shù)通過(guò)頻域卷積對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行截取。如“漢寧窗”

                               eq.7

“布萊克曼窗”

                    eq.8

窗體函數(shù)對(duì)信號(hào)處理不可同時(shí)兼顧通帶帶寬與旁瓣峰值，如“矩形窗”的帶寬可設(shè)計(jì)的很窄以達(dá)到精準(zhǔn)濾波，但是旁瓣峰值較高導(dǎo)致輸出信號(hào)的信噪比較低。因此針對(duì)不同輸出信號(hào)需求選擇合適的窗函數(shù)變得重要。如下圖中在時(shí)域?qū)Ρ攘瞬煌昂瘮?shù)。

下圖為一矩形窗中M不同時(shí)對(duì)應(yīng)的不同頻域波形，可以發(fā)現(xiàn)截取長(zhǎng)度越長(zhǎng)參數(shù)越多，相對(duì)應(yīng)的性能越理想。

下圖展示了四種窗函數(shù)當(dāng)長(zhǎng)度相同時(shí)的不同頻域表現(xiàn)。由下圖可見(jiàn)“矩形窗”具備較高滾降，但是通帶波紋與旁瓣峰值較差。而“漢明窗”的通帶波紋較低，“布萊克曼窗”的旁瓣峰值較低。